이득우의 게임 수학 이번에는 자연 지수 함수의 도함수에 대해 생각해본다. 우선 무리수 e의 극한식을 살펴본다. 한없이 커지는 x를 1/h로 바꾸면 극한식은 다음과 같이 바꿀 수 있다. e는 h와 관련없는 상수이므로, 좌변에도 극한을 취해줘도 결과는 동일하다. 극한의 성질 5를 활용해 양변에 h승을 적용한다. 극한의 성질 1에 의해 좌변의 극한식은 다음과 같이 분리된다. 분리된 상수 함수항을 좌변으로 옮기면 다음과 같다. 좌변식으로 나누면 다음 수식을 얻을 수 있다. 이제 자연 지수 함수의 도함수를 구해본다. 지수 법칙을 사용해 분리한다. 자연 지수 함수로 묶어준다. h와 관련없는 자연 지수 함수는 상수로 취급할 수 있으므로, 극한의 성질 2를 이용해 극한식 밖으로 빼낸다. 극한의 성질 4에 의해 분모와 ..

이득우의 게임 수학 임의의 수 x에 대한 미분 계수(접선의 기울기)를 구할 수 있도록 일반화한 함수를 도함수 또는 미분이라고 한다. 함수 f(x)의 도함수는 f'(x)와 같이 표시한다. 임의의 수 x에 대한 도함수(미분)의 식은 다음과 같다. 다음과 같이 정의역과 무관하게 항상 일정한 값을 갖는 함수를 상수 함수(Constant function)라고 한다. 상수 함수는 항상 x축과 수평한 선의 형태를 띤다. 그렇기 때문에 상수 함수의 도함수를 계산하면 항상 0이 되고, 이는 모든 x에 대한 접선의 기울기가 0임을 뜻한다. 자연 지수 함수와 삼각함수의 도함수를 전개하기 위해 알아둬야 할 6가지 극한의 성질을 다음과 같다. 1. 두 함수의 합의 극한은 각 극한의 합과 같다. 2. 상수와 함수의 곱의 극한은 ..

이득우의 게임 수학 미분은 미분 가능한 함수를 대상으로 특정 지점에서의 접선의 기울기를 구하는 작업이다. 자연 지수 함수, sin 함수, cos 함수는 모두 미분 가능한 함수이다. 다음과 같이 미분 가능한 함수가 주어졌을 때, 함수 위의 임의의 두 점을 연결해 만든 직선을 할선(Secant line)이라고 한다. 임의의 두 점의 x값이 a, b라고 할 때, 할선의 기울기는 m은 다음과 같다. a를 고정시킨 상태에서 b를 서서히 a오 이동시키면 할선의 기울기는 시시각각 변화할 것이다. b가 a에 도달하면 분모가 0이 되므로 할선이 더 이상 존재하지 않게 되지만, a가 아닌 a에 한없이 가까운 값에 접근했다면 마치 a 지점에서의 기울기처럼 보일 것이다. 이렇게 한없이 가까워지는 개념을 이용햐 특정 지점에서의..

이득우의 게임 수학 앞으로 배울 무리수 e와 허수 단위 i, 그리고 삼각함수와의 관계를 이용해 나타낸 오일러 공식은 다음과 같다. 오일러 공식을 이해하려면 자연 지수 함수와 sin, cos 함수의 미분을 이해하고, 이들을 급수로 표현하는 과정을 알아야 한다. 우선 무리수 e에 대해 알아본다. e는 다음 식에서 n값을 무한히 증가시킬 경우 수렴(Converge)하게 되는 값이다. 발산은 Diverge라고 한다. 같은 수를 여러 번 곱하는 작업을 거듭제곱(Exponentiation)이라고 하고, 거듭제곱의 곱하는 수를 밑(Base), 곱하는 횟수를 지수(Exponent)라고 한다. 거듭제곱의 3가지 지수 법칙(Law of exponents)은 다음과 같다. 이러한 거듭제곱의 지수에 미지수 x를 대입해 만든 ..

이득우의 게임 수학 복소수 역시 실수부에 해당하는 실수축과 허수부에 해당하는 허수축을 직각으로 교차시키는 방식의 복소평면을 통해 2차원 공간에 표현한다. 벡터와 비슷하게 복소수 a + bi는 (a, b)로 나타낼 수 있다. 크기가 1인 단위 복소수를 모아 복소평면에 표현하면 단위원이 만들어진다. 단위 복소수는 곱셈에 대해 특별한 성질을 만족한다. 허수부가 0인 임의의 복소수 (a, 0)에 단위 복소수 i를 곱하면 다음과 같다. 이는 복소수 (a, 0)을 반시계 방향으로 90° 회전시킨 결과와 같다. (0, a)에 단위 복소수 i를 곱해보면 (-a, 0)이 나오고, (-a, 0)에 i를 곱하면 (0, -a)가 나오고, (0, -a)에 또 i를 곱하면 (a, 0)이 되어 원래 값으로 돌아온다. 단위 복소수 ..

이득우의 게임 수학 복소수는 실수(Real number)와 허수(Imaginary number)의 독립된 2개 요소로 구성된 수 집합이며 집합 기호 C로 표현한다. 복소수 체계에서 실수와 허수는 완전히 분리된 성질을 가진다. 모든 실수는 제곱하면 0보다 크거나 같은 수가 나오지만, 허수의 허수 단위(Imaginary unit) i는 제곱했을 때 -1이 나온다. 복소수는 실수부(Real part)와 허수부(Imaginary part)로 표현되며, 허수부는 항상 허수 단위 i를 붙여 표기한다. 다음과 같은 순서쌍으로 표기하기도 한다. 복소수의 덧셈은 벡터의 덧셈과 매우 유사하며 비슷한 성질을 가진다. 복소수 덧셈 연산의 성질은 다음과 같다. 복소수의 곱셈은 다음과 같다. 복소수 곱셈 연산의 성질은 다음과 같..