자연 지수 함수

이득우의 게임 수학

 

앞으로 배울 무리수 e와 허수 단위 i, 그리고 삼각함수와의 관계를 이용해 나타낸 오일러 공식은 다음과 같다.

 

 

오일러 공식을 이해하려면 자연 지수 함수와 sin, cos 함수의 미분을 이해하고, 이들을 급수로 표현하는 과정을 알아야 한다.

 

자연 지수 함수

 

우선 무리수 e에 대해 알아본다.

 

e는 다음 식에서 n값을 무한히 증가시킬 경우 수렴(Converge)하게 되는 값이다.

• 발산은 Diverge라고 한다.

 

 

같은 수를 여러 번 곱하는 작업을 거듭제곱(Exponentiation)이라고 하고, 거듭제곱의 곱하는 수를 밑(Base), 곱하는 횟수를 지수(Exponent)라고 한다.

 

 

거듭제곱의 3가지 지수 법칙(Law of exponents)은 다음과 같다.

 

 

이러한 거듭제곱의 지수에 미지수 x를 대입해 만든 함수를 지수 함수(Exponential function)라고 하고, 밑이 무리수 e인 지수 함수를 특히 자연 지수 함수(Natural exponential function)라고 한다.

 

지수 함수

자연 지수 함수

 

자연 지수 함수는 항상 (0, 1)을 지나며, x가 커질수록 급격히 증가하는 형태를 띤다.