복소수(Complex number)

이득우의 게임 수학

 

복소수는 실수(Real number)와 허수(Imaginary number)의 독립된 2개 요소로 구성된 수 집합이며 집합 기호 C로 표현한다.

• 복소수 체계에서 실수와 허수는 완전히 분리된 성질을 가진다.

 

 

모든 실수는 제곱하면 0보다 크거나 같은 수가 나오지만, 허수의 허수 단위(Imaginary unit) i는 제곱했을 때 -1이 나온다.

 

 

복소수는 실수부(Real part)와 허수부(Imaginary part)로 표현되며, 허수부는 항상 허수 단위 i를 붙여 표기한다.

 

 

다음과 같은 순서쌍으로 표기하기도 한다.

 

 

복소수의 덧셈은 벡터의 덧셈과 매우 유사하며 비슷한 성질을 가진다.

 

 

복소수 덧셈 연산의 성질은 다음과 같다.

 

복소수 덧셈의 결합법칙

복소수 덧셈의 교환법칙

복소수 덧셈의 항등원

복소수 덧셈의 역원

 

복소수의 곱셈은 다음과 같다.

 

 

복소수 곱셈 연산의 성질은 다음과 같다.

 

복소수 곱셈의 결합법칙

복소수 곱셈의 교환법칙

복소수 곱셈의 분배법칙

복소수 곱셈의 항등원

 

복소수 곱셈의 역원을 구하기 위해서는 켤레 복소수(Complex conjugate)를 이해해야 한다.

 

복소수의 크기는 2차원 벡터와 동일하게 실수부와 허수부의 각 요소를 제곱해 더한 다음, 제곱근을 취하는 방식으로 계산한다.

• 절댓값 기호 | |를 써서 나타내며 복소수의 크기를 노름(Norm)이라고 한다.
• 특히, 크기가 1인 복소수를 단위 복소수(Unit complex number)라고 한다.

 

 

임의의 복소수를 c라고 하면 c의 켤레 복소수는 * 혹은 ⁻ 첨자 기호를 붙여 다음과 같이 나타낸다.

 

 

켤레 복소수의 기호는 여산처럼 사용할 수 있으며 다음과 같은 성질을 가진다.

 

 

임의의 복소수 c에 그 켤레 복소수 Conjugate(c)를 곱하면 c의 크기(Norm)를 제곱한 값을 얻을 수 있다.

 

 

이제 복소수 c에 대한 곱셈의 역원을 구해 본다.

 

역원의 분모와 분자에 c의 켤레 복소수를 곱하면, 분모의 허수부가 제거되면서 복소수 c의 곱셈의 역원을 구할 수 있다.

 

 

만약 c가 크기가 1인 단위 복소수라면, c의 곱셈의 역원은 c의 켤레 복소수 conjugate(c)가 된다.