복소평면(Complex plane)

이득우의 게임 수학

 

복소수 역시 실수부에 해당하는 실수축과 허수부에 해당하는 허수축을 직각으로 교차시키는 방식의 복소평면을 통해 2차원 공간에 표현한다.

 

 

벡터와 비슷하게 복소수 a + bi는 (a, b)로 나타낼 수 있다.

 

크기가 1인 단위 복소수를 모아 복소평면에 표현하면 단위원이 만들어진다.

 

 

단위 복소수는 곱셈에 대해 특별한 성질을 만족한다.

 

허수부가 0인 임의의 복소수 (a, 0)에 단위 복소수 i를 곱하면 다음과 같다.

 

 

이는 복소수 (a, 0)을 반시계 방향으로 90° 회전시킨 결과와 같다.

 

 

(0, a)에 단위 복소수 i를 곱해보면 (-a, 0)이 나오고, (-a, 0)에 i를 곱하면 (0, -a)가 나오고, (0, -a)에 또 i를 곱하면 (a, 0)이 되어 원래 값으로 돌아온다.

 

단위 복소수 i의 곱셈이 갖는 특별한 성질은, 임의의 복소수에 i를 곱하면 반시계 방향으로 90° 회전시킨 결과가 된다는 것이다.

 

 

임의의 복소수 (a, b)에 단위 복소수 i를 곱합 결과는 항상 다음과 같이 표현된다.

 

 

삼각함수의 공식 cos²θ + sin²θ = 1을 이용해 단위원을 형성하는 임의의 단위 복소수 (a, b)를 다음과 같이 삼각함수로 표현해볼 수 있다.

 

 

삼각함수로 나타낸 단위 복소수에 임의의 복소수 (x, y)를 곱하면 다음과 같이 전개된다.

 

이는 2차원 공간의 회전행렬 R에 벡터 (x, y)를 곱한 결과와 같다.

 

 

따라서 임의의 복수수에 단위 복소수 i를 곱하는 것은 복소평면에서의 회전 변환을 의미한다.

 

 

이번에는 서로 다른 각을 갖는 2개의 단위 복소수를 곱해본다.

 

 

이는 삼각함수의 덧셈 정리에 의해 다음과 같이 간단하게 표기된다.

 

이로써 서로 다른 두 각을 회전 변환 후 곱하는 것은 두 각의 합을 회전하는 것과 같음을 확인했다.

 

 

이번에는 복소수 곱셈의 항등원 (1, 0)의 의미를 생각해본다.

 

복소수 1을 삼각함수로 표현하면 각 0°에 대응하는 수다.

• 따라서 곱셈의 항등원을 곱한다는 의미는 아무 변화가 없는 0° 회전 변환이라고 할 수 있다.

 

 

이번에는 복소평면에서 켤레 복소수의 의미를 생각해본다.

 

임의의 복소수의 켤레 복소수는 실수축을 기준으로 대칭시킨 형태라는 걸 알 수 있다.

 

 

복소평면의 단위 복소수를 (cosθ, sinθ)로 표현하면, 켤레 복소수는 (cosθ, -sinθ)가 된다.

 

여기서 삼각함수의 성질을 활용하면 다음과 같다.

 

 

따라서, 단위 복소수 (cosθ, sinθ)의 곱셈이 θ만큼의 반시계 방향 회전을 의미한다면, 그 켤레 복소수 (cosθ, -sinθ) = (cos(-θ), sin(-θ))의 곱셈은 θ만큼의 시계 방향 회전임을 알 수 있다.

 

 

단위 복소수와 그 켤레 복소수의 곱은 복소수의 크기의 제곱이므로 1이 된다.

 

이것을 변환의 관점에서 해석하면, θ만큼 반시계 방향으로 회전한 후 다시 θ만큼 시계 방향으로 회전한 것이 되고, 결국 아무 회전도 일어나지 않은 0° 회전 변환을 의미하는 항등원 (1, 0)이 됨을 확인할 수 있다.

 

 

복소수를 수의 관점이 아닌 변환의 관점에서 바라본다면, 2차원 복소평면 상의 복소수는 2차원 행렬에 대응할 수 있다.

 

 

회전 변환 행렬을 cosθ와 sinθ에 대해 분리해 정리하면 다음과 같다.

 

 

여기서 실수부에 대응하는 행렬을 I, 허수 i에 대응하는 행렬을 J로 하면 다음과 같다.

 

 

실수부에 대응하는 행렬 I는 어떤 수에 곱했을 때 아무 변화가 없는 항등행렬임을 알 수 있고, 이는 곱셈의 항등원 1과 동등한 개념이다.

 

허수 i에 대응하는 행렬 J는 반시계 방향 90° 회전 변환 행렬임을 알 수 있고, 이를 두 번 곱하면 -I가 나오며 -1에 대응한다고 할 수 있다.

 

 

이는 두 번 곱하면 -1이 나오는 허수 단위의 성질과도 같다.