이득우의 게임 수학 회전 사원수 q를 사용해 임의의 회전축 n에 대해 3차원 공간의 벡터 v를 각 θ만큼 회전시키는 방법을 확인해본다. 3차원 공간의 벡터 v(x, y, z)는 순허수 사원수에 대응된다. 회전축 n(a, b, c)은 단위 벡터이기 때문에 a² + b² + c² = 1을 만족하고, 회전축 n을 기준으로 각 θ만큼 회전시키는 회전 사원수 q는 (cosθ, sinθ · n)의 값을 가진다. 회전 사원수 q를 사용해 벡터를 회전시키는 방법은, 회전 사원수를 벡터의 왼쪽에 배치하고 둘을 곱하는 것이다. 사원수의 곱셈을 교환법칙이 성립하지 않기 때문에, 항상 곱하는 순서에 주의해야 한다. 그런데 계산 결과를 보면 순허수 사원수가 아닌 네 요소를 모두 사용하는 일반 사원수가 나오기 때문에, 순허수 사..

이득우의 게임 수학 복소수 체계에서 크기가 1이고, 제곱한 값이 -1이 되는 허수 i를 사용해 오일러 공식을 전개할 수 있었다. 사원수에서도 허수 i와 동일하게 크기가 1이고, 제곱한 값이 01인 수가 있다면 오일러 공식을 만족할 것이다. 크기가 1인 순허수 사원수가 있을 때, 크기는 1, 제곱한 값은 -1이 된다. 크기가 1인 순허수 사원수 q.n(0, n)은 다음 식이 성립한다. 그러므로 허수부의 벡터 n의 크기도 1이 됨을 알 수 있으며, 내적 n·n의 값도 1이 된다. 순허수 사원수 q.n의 제곱을 전개하면 다음과 같다. 내적 n·n의 값은 1이고, 동일한(평행한) 벡터의 외적은 영벡터가 되므로 위 식은 다음과 같이 간략화된다. 따라서, 크기가 1인 순허수 사원수를 제곱한 결과는 -1이 됨을 확인..

이득우의 게임 수학 사원수(Quarternion)란 4개의 독립된 체계로 구성된 4차원의 수집합으로서, 복소평면을 4차원 공간으로 확장한 개념이다. 복소수와 동일하게 허수를 사용하는 수의 집합으로서, 하나의 실수부와 세 개의 허수부로 구성된다. 사원수를 구성하는 3개의 허수부 i, j, k는 모두 복소수의 허수 단위 i와 같은 성질을 가진다. 세 허수 중 두 허수의 곱은 나머지 하나에 대응되는데, 이들은 회전의 순환 순서 x - y - z - x와 유사하게 i - j - k - i 순서로 대응된다. ij = k이고 kk = -1이므로, ijk = -1이 성립한다. 세 허수의 곱은 -1이 된다. 사원수의 덧셈도 복소수와 유사하게 다음의 성질들을 만족한다. 결합법칙 교환법칙 항등원과 역원이 존재 사원수의 곱..

이득우의 게임 수학 오일러 공식에 필요한 자연 지수 함수, sin 함수, cos 함수에 대응하는 매클로린 급수 식은 다음과 같다. sin 함수는 홀수항 부분이 0이 되고, cos 함수는 짝수항 부분이 0이 되다보니, sin과 cos 함수를 더하면 서로에게 부족한 부분이 채워진다. 자연 지수 함수의 매클로린 급수와 유사한 형태가 되었지만, 부호에서 차이가 있다. 부호를 일치시키려면 크기가 1이고 제곱하면 -1이 되는 허수 단위 i를 사용해야 한다. cosx + sinx 와 자연 지수 함수의 매클로린 급수 식의 차이는 짝수 항에 허수 단위 i가 붙어 있다는 것 뿐이다. sinx가 짝수 항을 담당하므로, sin 함수에 허수 단위 i를 곱하면 자연 지수 함수의 매클로린 급수와 같아진다. 이 식에 x 대신 각 θ..

이득우의 게임 수학 멱급수가 수렴하기 위한 조건을 알아봤으니, 이제 무한번 미분 가능한 함수를 멱급수 형태로 바꾸는 방법에 대해 알아본다. 이러한 멱급수를 매클로린 급수 혹은 테일러 급수(Taylor series)라고 한다. 수렴하는 멱급수에서 공비 r을 x로 바꿔 f(x)로 정의한다. 어떤 함수가 무한번 미분 가능하다면, 멱급수의 도함수는 다음과 같이 전개될 것이다. x에 0을 대입하면, 멱급수를 구성하는 각 항의 계수 a.n과 일정한 규칙을 가지는 상수만 남는다. 위 식들은 계승(Factorial)을 사용해 다음과 같이 간단히 표기할 수 있다. 멱급수의 n번째 계수 a.n은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 멱급수 전개는 다음과 같이 n번 미분한 도함수에 0을 대입한 형태로 일반화할 수 있고, 이를 매클..

이득우의 게임 수학 무한번 미분 가능한 함수를 무한 급수로 표현하기 위한 첫걸음으로 등비수열을 알아본다. 수열(Sequence)이란 규칙에 따라 순서에 맞게 수를 나열한 것이다. 집합은 순서의 개념이 없고 중복을 허용하지 않는다는 점에서 수열과는 다른 개념이다. 수열 중에서도 연속된 항들이 일정한 비(Ratio)로 증가하는 수열을 등비수열(Geometric sequence)이라고 하며, 등비수열에 사용된 비를 공비(Common ratio)라고 한다. 수열의 첫 번째 값을 초항(First term)이라고 부르며 a로 표기하고, 공비는 r, n번째 항은 a.n으로 표기해 다음과 같은 식으로 등비수열을 나타낸다. 등비수열의 n + 1번째 항과 n번째 항에 공비를 적용하면 다음과 같은 관계가 성립한다. 수열의 ..