오일러 공식(Euler's formula)

이득우의 게임 수학

 

오일러 공식에 필요한 자연 지수 함수, sin 함수, cos 함수에 대응하는 매클로린 급수 식은 다음과 같다.

 

 

sin 함수는 홀수항 부분이 0이 되고, cos 함수는 짝수항 부분이 0이 되다보니, sin과 cos 함수를 더하면 서로에게 부족한 부분이 채워진다.

 

 

자연 지수 함수의 매클로린 급수와 유사한 형태가 되었지만, 부호에서 차이가 있다.

 

부호를 일치시키려면 크기가 1이고 제곱하면 -1이 되는 허수 단위 i를 사용해야 한다.

 

 

cosx + sinx 와 자연 지수 함수의 매클로린 급수 식의 차이는 짝수 항에 허수 단위 i가 붙어 있다는 것 뿐이다.

 

sinx가 짝수 항을 담당하므로, sin 함수에 허수 단위 i를 곱하면 자연 지수 함수의 매클로린 급수와 같아진다.

 

 

이 식에 x 대신 각 θ를 대입하면 오일러 공식이 완성된다.

 

 

(cosθ, sinθ) = cosθ + isinθ는 복소평면에서 회전 변환을 담당하는 단위 복소수를 의미했다.

 

따라서 오일러 공식의 좌변에 위치한 자연 지수 함수는, 복소평면에서의 회전 변환을 의미하는 또 하나의 표현임을 알 수 있다.

• 오일러 공식은 사원수에서 복잡한 4차원 공간의 회전을 단순화시켜 3차원 공간의 회전식을 유도하는 데 사용된다.

 

 

각 α, β의 회전 변환은 오일러 공식에 의해 다음과 같이 쉽게 표현할 수 있다.