급수(Series)

이득우의 게임 수학

 

무한번 미분 가능한 함수를 무한 급수로 표현하기 위한 첫걸음으로 등비수열을 알아본다.

 

수열(Sequence)이란 규칙에 따라 순서에 맞게 수를 나열한 것이다.

• 집합은 순서의 개념이 없고 중복을 허용하지 않는다는 점에서 수열과는 다른 개념이다.

 

수열 중에서도 연속된 항들이 일정한 비(Ratio)로 증가하는 수열을 등비수열(Geometric sequence)이라고 하며, 등비수열에 사용된 비를 공비(Common ratio)라고 한다.

 

수열의 첫 번째 값을 초항(First term)이라고 부르며 a로 표기하고, 공비는 r, n번째 항은 a.n으로 표기해 다음과 같은 식으로 등비수열을 나타낸다.

 

 

등비수열의 n + 1번째 항과 n번째 항에 공비를 적용하면 다음과 같은 관계가 성립한다.

 

 

수열의 모든 값을 더한 것을 급수라고 한다.

 

 

따라서, 등비수열의 급수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

• 등비수열의 급수를 특히 기하급수(Geometric series)라고 한다.

 

 

기하급수는 무한대로 계속 증가해 발산하거나, 특정 수로 수렴하는 성질이 있다.

 

초항과 공비가 1/2인 기하급수가 어떤 값 s에 수렴한다고 하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

급수 값 s에 공비 1/2을 곱한 식은 다음과 같다.

 

 

위 식에서 아래 식을 빼면 다음과 같은 식을 얻을 수 있고, 기하급수 s의 급수 값은 1에 수렴함을 알 수 있다.

 

 

이 기하급수를 시각적으로 표현하면 다음과 같다.

• 기하급수의 요소는 무한이지만, 이를 모두 더한 값은 정사각형의 넓이 1에 수렴하는 것을 확인할 수 있다.

 

 

기하급수를 구하는 과정을 일반화시켜 보면 다음과 같다.

 

 

두 식을 빼면 다음 식이 나온다.

 

 

좌변을 묶으면 기하급수를 구할 수 있는 식이 유도된다.

 

 

기하급수가 무한 개의 요소를 가진다고 가정하고, n에 무한대의 극한을 설정해 전개해본다.

 

 

기하급수의 극한을 구하려면 공비 r이 가질 수 있는 값에 따라 생각해야 한다.

 

a / (1 - r)은 r이 정해지면 상수가 되므로, 극한은 r^n에 의해 결정된다.

• r = 1
  극한을 구할 수 없고 발산한다.
• 1 < |r|
  곱할수록 크기도 커지므로 발산한다.
• |r| < 1
  곱할수록 크기도 작아지므로 0으로 수렴한다.
• r = -1
  1과 -1 사이를 진동(Oscillate)하므로 발산으로 취급된다.

 

이로써, 기하급수가 수렴하기 위한 조건은 공비의 크기가 1 미만이어야 한다는 것을 확인했다.

 

기하급수가 수렴하기 위한 조건

 

급수의 모든 항의 계수가 초항 a로 같았던 기하급수와 달리, 항마다 계수가 다른 급수를 멱급수(Power series)라고 한다.

 

 

그러므로 기하급수는 모든 항의 계수가 동일한 멱급수의 한 종류라고 할 수 있다.

 

멱급수가 특정 조건에 따라 수렴하거나 발산하는지 판정하기 위한 방법을 비판정법(Ratio test)라고 한다.

 

비판정법은 멱급수의 항의 계수가 일정한 규칙으로 전개되는 경우, 다음 L의 극한을 구해 수렴, 발산 여부를 파악하는 방법이다.

 

 

L의 값은 다음과 같은 3가지 경우가 있다.

• L < 1
  항상 수렴한다.
• 1 < L
  항상 발산한다.
• L = 1
  수렴할 수도, 발산할 수도 있다.

 

기하급수를 멱급수의 관점에서 생각하고 비판정법을 적용하면, L은 항상 공비 r의 크기가 된다.

• 이는 기하급수가 수렴하기 위한 조건 |r| < 1이, 멱급수가 수렴하기 위한 조건 L < 1과 동일하다는 것을 나타낸다.

 

 

이와 같이 멱급수가 수렴하기 위해 r이 가져야 할 범위를 수렴 구간(Interval of convergence)이라고 하며, 범위의 절반인 1의 값을 수렴 반지름(Radius of convergence)이라고 한다.

 

 

이번에는 각 항의 계수가 다른 멱급수의 수렴 조건을 살펴본다.

 

 

이 식에 비판정법을 적용하면 다음과 같이 전개된다.

 

 

이로써, 각 항의 계수가 서로 다른 멱급수의 수렴 조건도 |r| < 1이며, 멱급수 또한 기하급수와 동일한 수렴 반지름을 가짐을 알 수 있다.

 

멱급수가 수렴하기 위한 조건