자연 지수 함수와 삼각함수의 도함수

이득우의 게임 수학

 

이번에는 자연 지수 함수의 도함수에 대해 생각해본다.

 

 

우선 무리수 e의 극한식을 살펴본다.

 

 

한없이 커지는 x를 1/h로 바꾸면 극한식은 다음과 같이 바꿀 수 있다.

 

 

e는 h와 관련없는 상수이므로, 좌변에도 극한을 취해줘도 결과는 동일하다.

 

 

극한의 성질 5를 활용해 양변에 h승을 적용한다.

 

 

극한의 성질 1에 의해 좌변의 극한식은 다음과 같이 분리된다.

 

 

분리된 상수 함수항을 좌변으로 옮기면 다음과 같다.

 

 

좌변식으로 나누면 다음 수식을 얻을 수 있다.

 

 

이제 자연 지수 함수의 도함수를 구해본다.

 

 

지수 법칙을 사용해 분리한다.

 

 

자연 지수 함수로 묶어준다.

 

 

h와 관련없는 자연 지수 함수는 상수로 취급할 수 있으므로, 극한의 성질 2를 이용해 극한식 밖으로 빼낸다.

 

 

극한의 성질 4에 의해 분모와 분자를 각각 극한으로 분리한다.

 

 

무리수 e의 극한식에서 얻어냈던 식에 의해 우측 극한은 1로 수렴한다.

 

최종적으로, 자연 지수 함수의 도함수는 원함수와 동일하다는 것을 알 수 있다.

• 도함수가 원함수와 동일하다면, 무한번 미분 가능한 성질을 가진다.

 

 

이번에는 sin, cos 삼각함수의 도함수에 대해 알아본다.

 

삼각함수의 도함수를 구하기에 앞서, 다음 극한식을 유도해본다.

 

 

이 식은 원(Circle)과 부채꼴(Circular Sector)의 넓이를 구하는 공식으로부터 유도할 수 있다.

 

 

원을 구성하는 각은 2π이므로, θrad에 해당하는 부채꼴의 넓이는 다음과 같다.

• 이 식은 θ에 따라 음수가 나올 수 있어 절댓값을 취해야 하지만, 편의상 생략했다.

 

 

반지름이 1이고 중심각이 θrad인 부채꼴의 넓이는 다음과 같다.

 

 

이 부채꼴 Area(CS₁)에 내부에 꼭 들어맞는 삼각형 T는 밑변이 1이고 높이가 sinθ인 삼각형이 된다.

 

 

원 위에서 sinθ의 x좌표에 해당하는 cosθ를 반지름으로 하는 부태꼴의 넓이는 다음과 같다.

 

 

부채꼴의 세 영역의 넓이 Area(CS₁), Area(T), Area(CS₂)를 구하는 공식을 알아봤는데, 다음과 같은 대소 관계가 성립한다.

 

 

2/θ를 곱하면 다음과 같다.

 

 

이제 이해를 돕기 위해 θ를 h로 바꾸고 극한을 취해본다.

 

 

cos 함수는 각이 0에 수렴할 수록 그 값은 1에 수렴하므로, 극한의 설징 6에 의해 가운데 극한식도 1로 수렴함을 알 수 있다.

 

추가로 알아두면 좋은 함수의 극한값은 다음과 같다.

 

 

이제 삼각함수의 도함수를 구해본다.

 

우선 sin 함수의 도함수를 살펴본다.

 

 

sin 함수의 도함수는 cos 함수가 됨을 확인했다.

 

이번에는 cos 함수의 도함수를 구해본다.

 

 

cos 함수의 도함수는 -sin 함수가 됨을 확인했다.

 

sin, cos 함수는 4번 미분하면 원함수로 돌아오기 때문에, 자연 지수 함수와 동일한 성질을 가진 무한번 미분 가능한 함수다.