사원수와 오일러 공식

이득우의 게임 수학

 

복소수 체계에서 크기가 1이고, 제곱한 값이 -1이 되는 허수 i를 사용해 오일러 공식을 전개할 수 있었다.

 

 

사원수에서도 허수 i와 동일하게 크기가 1이고, 제곱한 값이 01인 수가 있다면 오일러 공식을 만족할 것이다.

 

크기가 1인 순허수 사원수가 있을 때, 크기는 1, 제곱한 값은 -1이 된다.

 

크기가 1인 순허수 사원수 q.n(0, n)은 다음 식이 성립한다.

 

 

그러므로 허수부의 벡터 n의 크기도 1이 됨을 알 수 있으며, 내적 n·n의 값도 1이 된다.

 

 

순허수 사원수 q.n의 제곱을 전개하면 다음과 같다.

 

 

내적 n·n의 값은 1이고, 동일한(평행한) 벡터의 외적은 영벡터가 되므로 위 식은 다음과 같이 간략화된다.

 

 

따라서, 크기가 1인 순허수 사원수를 제곱한 결과는 -1이 됨을 확인했다.

 

그렇다면 오일러 공식의 전개 과정에 허수 i대신 순허수 사원수의 크기가 1인 벡터 n을 사용할 수 있다.

• 이렇게 하면 자연 지수 함수로 사원수의 회전을 표현하는 것이 가능해진다.

 

 

(cosθ, n·sinθ) 형태의 사원수는 4차원 공간에서 회전축 n을 중심으로 회전 변환하는 성질을 갖는데, 이를 회전 사원수(Rotation quaternion)라고 한다.

 

회전 사원수 q(cosθ, n·sinθ)와 벡터 n(a, b, c)을 전개해 확인해보면, 회전 사원수는 항상 단위 사원수임을 확인할 수 있다.

 

 

이번에는 회전 사원수의 켤레 사원수가 가지는 의미를 알아본다.

 

 

이는 반대 방향으로의 회전을 의미한다.

 

 

반댜 방향으로의 회전을 의미하는 회전 사원수의 켤레 사원수는 오일러 공식으로도 확인할 수 있다.

 

 

오일러 공식에 의해 회전 사원수에 대응하는 지수 함수는 다음과 같았다.

 

 

이를 회전 사원수 q에 치환한 식은 다음과 같이 전개된다.

 

 

이를 만족하는 켤레 사원수 q*의 값은 다음과 같으며, 같은 축 n을 중심으로 반대 방향으로 θ만큼 회전하는 것을 의미한다.