아핀 공간의 구성 요소

이득우의 게임 수학

 

아핀 공간의 정의에 따라, 아핀 공간에 속한 물체의 마지막 차원의 값은 항상 1이어야 한다.

 

 

점(Point)

아핀 공간에서 마지막 차원의 값이 1인 원소를 점이라고 한다.
따라서, 점은 행렬의 곱을 통해 이동이 가능하다.

2차원 아핀 공간에서의 점 : (x, y, 1)
3차원 아핀 공간에서의 점 : (x, y, z, 1)

 

합성 함수의 특성을 갖는 행렬 곱의 장점을 살리기 위해, 의도적으로 벡터 공간에서 마지막 원소의 값을 1로 제한한 부분 공간인 아핀 공간을 사용한다.

 

그런데 아핀 공간의 원소끼리 벡터 합 연산으로 점을 이동시키면, 마지막 원소의 값이 2가 되어 아핀 공간에 닫혀있지 않게 된다.

 

이를 위해 아핀 공간은 이동 벡터(변위 벡터, Displacement vector)라는 개념을 추가로 제공한다.

 

 

P₁ + v = P₂

P₁이 P₂를 향하는 벡터
v = P₂ - P₁

P₂가 P₁을 향하는 벡터
-v = P₁ - P₂

 

아핀 공간의 점 P₁(a, b, 1)을 P₂(c, d, 1)로 이동시키는 이동 벡터

• v = P₂ - P₁ = (c - a, d - b, 0)

 

점의 좌표와 무관하게, 이동 벡터의 마지막 차원의 값은 항상 0이다.

 

 

아핀 공간의 원점을 O(0, 0, 1)라고 한다면, 원점 O에서 점 P₁(x, y, 1)로 향하는 벡터

• v =  (x, y, 0)

 

 

현실 세계의 보이는 물체와 보이지 않는 힘을 아핀 공간에서 표현한 것이 점과 이동 벡터이다.

 

물리적인 관점에서 바라본 현실 세계의 3차원 공간을 유클리드 공간(Euclidean space)이라고 하고, 이 공간에서 작용하는 힘을 유클리드 벡터(Euclidean vector)라고 한다.

• 이에 대응되는 개념이 아핀 공간과 이동 벡터인 것이다.

 

점과 벡터는 시각과 시간에 비유할 수 있다.

• 점 - 점 = 벡터
  시각 - 시각 = 시간
• 점 ± 벡터 = 점
  시각 ± 시간 = 시각
• 벡터 ± 벡터 = 벡터
  시간 ± 시간 = 시간
• 시각 ± 시각 = ?
  점 + 점 ≠ 점