내적(Dot product)

이득우의 게임 수학

 

같은 차원의 두 벡터 A(Ax, Ay), B(Bx, By)가 주어졌을 때 내적은 다음과 같다.

• |A|는 벡터 A의 크기이다.

 

 

같은 벡터를 내적하면, 크기의 제곱이 나온다.

(x, y)·(x, y) = x² + y²

 

내적은 스칼라 곱셈과 덧셈으로 구성되어 있으므로, 교환법칙이 성립한다.

u·v = v·u

 

덧셈에 대한 분배법칙도 성립한다.

w·(u + v) = w·u + w·v

 

하지만 결과가 벡터가 아닌 스칼라이므로, 결합법칙은 성립하지 않는다.

u·(v·w) != (u·v)·w

 

행렬과 벡터의 곱은 내적으로 나타낼 수 있다.

 

 

행렬의 곱도 내적으로 나타낼 수 있다.

 

 

직교 행렬이란, 정방 행렬을 구성하는 모든 행 벡터와 열 벡터의 크기가 1이고, 벡터들이 서로 직교하는 행렬이다.

 

직교 행렬의 특징 중 하나는, 전치 행렬 T(Q) = 역행렬 Q⁻¹가 된다는 것이다.

• 회전 변환 행렬은 대표적인 직교 행렬이다.

 

 

여러 종류의 선형 변환 중, 물체의 형태가 그대로 유지되는 선형 변환을 강체 변환(Rigid Transformation)이라고 한다.

 

강체 변환이 되기 위한 조건은 다음과 같다.

1. 변화된 기저 벡터의 크기가 모두 1이어야 한다.
2. 모든 기저 벡터는 서로 직교해야 한다.
3. 행렬식의 값이 1이어야 한다.

 

회전 변환은 대표적인 강체 변환이기도 하다.