컨벡스 결합(Convex combination)

이득우의 게임 수학

 

아핀 결합식에서 세 점 P₁, P₂, P₃를 결합하는 경우, 세 스칼라의 합이 1이 되어야 하므로 다음처럼 전개된다.

P' = sP₁ + tP₂ + (1 - s - t)P₃

(P' - P₃) = s(P₁ - P₃) + t(P₂ - P₃)

각 점의 뻴셈을 벡터로 치환하면,
w = su + tv

 

이때 벡터 u와 v가 서로 선형 독립의 관계라면, w는 2차원 공간 R²에 존재하는 모든 벡터를 표현할 수 있다.

• 따라서, 세 점의 아핀 결합은 평면의 모든 점을 만들어낸다.

 

 

두 점의 아핀 결합에서 s의 범위를 [0, 1]로 제한하면 선분이 되었다.

 

세 점에서는 s와 t의 범위를 [0, 1]로 제한하면, w가 생성하는 평면은 삼각형이 된다.

 

 

이렇게 아핀 결합에서 모든 스칼라의 값을 [0, 1] 범위로 제한한 결합을 컨벡스 결합이라고 한다.

 

아핀 결합

컨벡스 결합

 

컨벡스 결합으로 만든 영역을 컨벡스 영역(Convex Region)이라고 한다.

 

Convex의 사전적 의미는 볼록한이라는 뜻이다.

• 수학에서 볼록함이란, 영역 내의 임의의 두 점을 연결한 선분이 언제나 해당 컨벡스 영역 안에 속함을 의미한다.
• Convex의 반댓말은 Concave(오목한)이다.

 

삼각형 내의 두 점을 연결한 선분은 언제나 그 안에 존재한다.

 

 

점 4개의 아핀 결합은 다음과 같고, x는 3차원 공간 R³의 모든 벡터를 표현할 수 있다.

x = au + bv + cw (a + b + c = 1)

 

이때, 스칼라의 값을 [0, 1]로 제한해 컨벡스 결합으로 만들면 3차원 물체 삼각뿔이 만들어진다.

• 역시 Convex 성질을 갖는다.