로드리게스 회전 공식

이득우의 게임 수학

 

오일러 각 방식은 짐벌락 현상이 발생하는 데다, 회전 순서에 따라 결과가 바뀌기 때문에 회전 보간이 어렵다.

 

이 문제는 임의의 축에 대한 평면의 회전 방식인 축-각 회전(Axis-Angle rotation)을 사용하면 해결이 가능하다.

 

 

원점을 O(0, 0, 0, 1), 회전 평면의 중심을 O', 회전시킬 점을 P(x, y, z, 1), 회전한 점을 P'이라고 하자.

• 벡터 u = P - O = (x, y, z)가 된다.

 

벡터 u를 벡터 n에 투영(Projection)시킨 벡터를 v라고 할 때,

• 벡터 v = (u·nₑ)·nₑ

 

벡터 O'P = u - v가 된다.

 

 

벡터 O'P'을 가로 성분과 세로 성분으로 분리하면, 가로 성분은 cosθ·(u - v)가 된다.

 

 

벡터 O'P'의 세로 성분을 구하기 위해서는 같은 방향을 향하는 벡터가 필요한데, 이는 nₑ와 O'P를 외적해 둘에 동시에 수직인 벡터 O'Q를 구할 수 있다.

• O'Q = nₑ⨯(u - v)가 된다.

 

 

여기에 sinθ를 곱하면 세로 성분은 sinθ·(nₑ⨯(u - v))가 된다.

 

가로 성분과 세로 성분을 구했으니 두 벡터를 더하면 O'P'을 구할 수 있다.

 

O'P'
= cosθ·O'P + sinθ·O'Q
= cosθ·(u - v) + sinθ·(nₑ⨯(u - v))
= cosθ·(u - v) + sinθ·(nₑ⨯u - nₑ⨯v)

벡터 nₑ와 벡터 v는 평행하므로, 외적의 값은 항상 영벡터가 된다.
O'P' = cosθ·(u - v) + sinθ·(nₑ⨯u)

 

 

최종적으로 벡터 v를 (u·nₑ)·nₑ로 치환하면 벡터 OP'을 구할 수 있다.

 

이 공식을 로드리게스 회전 공식(Rodrigues' rotation formula)이라고 한다.

 

 

로드리게스 회전 공식을 활용하면 오일러 각으로 구현하기 어려운 임의 축에 대한 회전 변환을 수행할 수 있지만, 행렬로의 변환이 어렵다보니 렌더링 파이프라인에 연동하기가 까다롭다.

 

따라서, 실제 게임 엔진에서는 로드리게스 회전 공식과 동일한 기능을 제공하면서도 행렬로 변환이 용이한 사원수(Quaternion)를 사용한다.